2北海道大学 2021年 数学 第2問解答・解説

放物線 $y=x^2/2$ 上でx座標が $t$ の点における接線は、傾きが $t$ だから $$\displaystyle y-\frac{t^2}{2}=t(x-t),\qquad y=tx-\frac{t^2}{2}.$$ よってA,Bにおける接線は $$\displaystyle \ell_1:y=-x-\frac12,\qquad \ell_2:y=(a+2)x-\frac{(a+2)^2}{2}.$$ 交点で等式を解くと $$\displaystyle (a+3)x_C=\frac{(a+2)^2-1}{2} =\frac{(a+1)(a+3)}2.$$ 条件 $a\ne-3$ で割れるため、$x_C=(a+1)/2$、さらに $y_C=-(a+2)/2$。

次に $a>0$ とする。このとき $a+3>0$。座標差から $$\displaystyle |AB|=\frac{a+3}{2}\sqrt{(a+1)^2+4},\qquad |BC|=\frac{a+3}{2}\sqrt{(a+2)^2+1}.$$ 比 $R=|AB|/|BC|$ は正なので、$R$ と $R^2$ は同じ値で最小になる。比の二乗は $$\displaystyle R^2=\frac{a^2+2a+5}{a^2+4a+5}.$$ 分母は $(a+2)^2+1>0$ であり、 $$\displaystyle R^2-(3-\sqrt5) =\frac{(\sqrt5-2)(a-\sqrt5)^2}{a^2+4a+5}\ge0.$$ $\sqrt5-2>0$ なので、等号は $a=\sqrt5$ のときに限る。この値は条件 $a>0$ を満たす。

答え

(1) $\displaystyle C\left(\frac{a+1}{2},-\frac{a+2}{2}\right)$。 (2) $\displaystyle \frac{|AB|}{|BC|}$ は $a=\sqrt5$ で最小。