4北海道大学 2009年 数学 第4問解答・解説

点 $Q$ を $(x,y)$ とおく。(1) 距離の二乗を比べると、 $$\displaystyle \mathrm{OQ}=\mathrm{AQ}\quad\text{ならば}\quad x^2+y^2=(x-a)^2+y^2\quad\text{ならば}\quad x=\frac{a}{2},$$ ここで $a>0$ を用いた。また、 $$\begin{aligned} \mathrm{OQ}=\mathrm{PQ} &\quad\text{ならば}\quad x^2+y^2=(x-\cos\theta)^2+(y-\sin\theta)^2\\ &\quad\text{ならば}\quad 2x\cos\theta+2y\sin\theta=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1. \end{aligned}$$ $0<\theta<\pi$ より $\sin\theta>0$ なので、 $$\displaystyle y=\frac{1-2x\cos\theta}{2\sin\theta}=\frac{1-a\cos\theta}{2\sin\theta}.$$ したがって $\displaystyle Q\left(\frac a2,\frac{1-a\cos\theta}{2\sin\theta}\right)$ である。

(2) $0<a<1$ および $0<\theta<\pi$ より、$1-a\cos\theta\ge 1-a>0$、$\sin\theta>0$ である。恒等式 $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ を用いると、 $$(1-a\cos\theta)^2-(1-a^2)\sin^2\theta=(a-\cos\theta)^2\ge 0.$$ 両辺の比較から $1-a\cos\theta\ge\sqrt{1-a^2}\sin\theta$ となるため、 $$\displaystyle y=\frac{1-a\cos\theta}{2\sin\theta}\ge\frac{\sqrt{1-a^2}}{2}.$$ $0<a<1$ なので $\cos\theta=a$ は $0<\theta<\pi$ を満たし、このとき $\sin\theta=\sqrt{1-a^2}$ となって等号が成立する。よって最小値は $\displaystyle \frac{\sqrt{1-a^2}}{2}$ である。