2琉球大学 2010年 数学 第2問解答・解説

$\overrightarrow{AB}=(-2,2,1)$ であり $|\overrightarrow{AB}|^2=9$。直線 $AB$ 上の点を $$H=A+s\overrightarrow{AB}=(3-2s,2s,s)$$ とおく。線分上にある条件は $0\le s\le1$ である。垂線の条件 $(C-H)\cdot\overrightarrow{AB}=0$ から $$\displaystyle s=\frac{(C-A)\cdot\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^2}=\frac{m+6}{9}.$$ よって $0\le(m+6)/9\le1$、すなわち問1の範囲は $-6\le m\le3$。

問2では、直角三角形 $CAH$ と射影関係から $$\displaystyle CH^2=|C-A|^2-AH^2=9+m^2-\frac{(m+6)^2}{9}=\frac{8m^2-12m+45}{9}.$$ この二次式は上に開き、平方完成すると $$\displaystyle CH^2=\frac89\left(m-\frac34\right)^2+\frac92.$$ 頂点 $m=3/4$ は $-6\leq m\leq3$ を満たし、このとき $s=3/4$、 $$\displaystyle H=\left(\frac32,\frac32,\frac34\right),\qquad CH=\frac{3\sqrt2}{2}.$$ 最大値は端点で比べる。$m=-6$ では $CH^2=45$、$m=3$ では $CH^2=9$ なので、最大値は $3\sqrt5$、そのとき $s=0$ より $H=A=(3,0,0)$。

問3の外心 $P=(x,y,z)$ は平面 $OAB$ 上にある。従ってある実数 $s,t$ により $$P=sA+tB=(3s+t,2t,t)$$ と表せるので、平面の式は $y=2z$。また $PO=PA$ から $x=3/2$。$PO=PB$ から $$2(x+2y+z)=|B|^2=6,$$ すなわち $x+2y+z=3$。これらと $y=2z$ を連立すると $z=3/10,\ y=3/5$ で、 $$\displaystyle P=\left(\frac32,\frac35,\frac3{10}\right).$$ 半径は $$\displaystyle r=PO=\sqrt{\frac94+\frac9{25}+\frac9{100}}=\frac{3\sqrt{30}}{10}.$$