1北海道大学 2010年 数学 第1問解答・解説

(1) 共通接線を $\ell:y=mx+b$ とおく。$C_1$ との交点の $x$ 座標は $$x^2-mx-b=0$$ の解であり、接するための条件は判別式が $0$ となることである。よって $$\displaystyle m^2+4b=0,\qquad b=-\frac{m^2}{4}.$$ また、$C_2$ との交点の $x$ 座標は $$x^2-(m+4a)x+(4a-b)=0$$ の解である。ここでも判別式を $0$ とすると $$(m+4a)^2-4(4a-b)=0.$$ $b=-m^2/4$ を代入して整理すると $$8a(m+2a-2)=0.$$ $a>0$ より $m=2-2a$、したがって $b=-(1-a)^2$ である。ゆえに $$\ell:\ y=2(1-a)x-(1-a)^2.$$

(2) 2つの放物線の交点は $$x^2=x^2-4ax+4a$$ より $x=1$ である。また $$x^2-\bigl(2(1-a)x-(1-a)^2\bigr)=(x-(1-a))^2,$$ $$x^2-4ax+4a-\bigl(2(1-a)x-(1-a)^2\bigr)=(x-(1+a))^2$$ だから、$\ell$ はそれぞれ $x=1-a,\ 1+a$ で各放物線に接する。さらに $$C_1-C_2=4a(x-1)$$ より、$1-a\le x\le1$ では $C_1$ が下側、$1\le x\le1+a$ では $C_2$ が下側である。囲まれた図形の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S &=\int_{1-a}^{1}(x-(1-a))^2\,dx +\int_{1}^{1+a}(x-(1+a))^2\,dx\\ &=\frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{3} =\frac{2a^3}{3}. \end{aligned}$$ したがって、求める面積は $\displaystyle \dfrac{2a^3}{3}$ である。