3北海道大学 2010年 数学 第3問解答・解説

正の実数 r と $\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$ の範囲の実数 θ に対して

$$a _ {0} = r \cos \theta , b _ {0} = r$$

とおく。 $a_{n}$ ， $b_{n}(n=1,2,3,\cdots)$ を漸化式

$$\displaystyle a _ {n} = \frac {a _ {n - 1} + b _ {n - 1}}{2}, b _ {n} = \sqrt {a _ {n} b _ {n - 1}}$$

により定める。以下の問いに答えよ。

(1) $\displaystyle \frac{a_{1}}{b_{1}}$ , $\displaystyle \frac{a_{2}}{b_{2}}$ を $\theta$ で表せ。

(2) $\displaystyle \frac{a_{n}}{b_{n}}$ を n と θ で表せ。

(3) θ ≠ 0 のとき

$$\displaystyle \lim\limits _ {n \to \infty} a _ {n} = \lim\limits _ {n \to \infty} b _ {n} = \frac {r \sin \theta}{\theta}$$

を示せ。