4岐阜大学 2011年 数学 第4問解答・解説

$S_k$ の半径を $R_k$、その内側の小円の半径を $r_k$ とし、$s=\sin(\pi/n)$ とおく。$n\ge3$ だから $0<s<1$。

(1) 隣り合う小円の中心と大円の中心を結ぶ二等辺三角形を二等分すると $$(R_k-r_k)\sin(\pi/n)=r_k.$$ したがって $r_k=sR_k/(1+s)$。$R_1=1$ だから $$\displaystyle \boxed{r_1=\frac{s}{1+s}}.$$

(2) 同心円 $S_{k+1}$ は小円の内側に接するので $$\displaystyle R_{k+1}=R_k-2r_k=\frac{1-s}{1+s}R_k.$$ よって $\boxed{R_2=(1-s)/(1+s)}$。

(3) $\lambda=(1-s)/(1+s)$ とおけば $0<\lambda<1$ で $R_k=\lambda^{k-1}$。小円1個の面積は $$\displaystyle \boxed{T_k=\pi\left(\frac{s}{1+s}\right)^2\lambda^{2k-2}}.$$

(4) 各段に小円が $n$ 個ある。等比級数の和より $$\displaystyle U_n=n\sum\limits _{k=1}^{\infty}T_k=\frac{n\pi s^2}{(1+s)^2(1-\lambda^2)}=\frac{n\pi s}{4}.$$ 最後は $1-\lambda^2=4s/(1+s)^2$ を用いた。ゆえに $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}U_n=\frac{\pi^2}{4}\lim\limits _{n\to\infty}\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}=\frac{\pi^2}{4}}.$$