3岐阜大学 2011年 数学 第3問解答・解説

円の中心を原点とし、半径が1なので $\lvert\overrightarrow{OA}\rvert=\lvert\overrightarrow{OB}\rvert=\lvert\overrightarrow{OC}\rvert=1$。正三角形の隣り合う頂点に対する中心角は $120^\circ$ だから $$\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\cos120^\circ=-\frac12.$$

(2) 正三角形の中心は重心でもあるので、位置ベクトルの和は零ベクトル。 $$\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}.$$

(3) $\boldsymbol p=\overrightarrow{OP}$ とする。$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\boldsymbol0$ より $$AP^2+BP^2+CP^2 =\lvert\boldsymbol p-\overrightarrow{OA}\rvert^2+\lvert\boldsymbol p-\overrightarrow{OB}\rvert^2+\lvert\boldsymbol p-\overrightarrow{OC}\rvert^2 =3\lvert\boldsymbol p\rvert^2+3\ge3.$$ 等号は $\boldsymbol p=\boldsymbol0$、すなわち $P=O$ のときに限る。

(4) 座標軸を回転し、$\overrightarrow{OA}=(1,0)$、$\displaystyle \overrightarrow{OB}=(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2})$、$\displaystyle \overrightarrow{OC}=(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2})$ とおく。$Q$ は単位円周上にあるので $\overrightarrow{OQ}=(\cos\theta,\sin\theta)$ と表せる。このとき内積は順に $$\displaystyle \cos\theta,\quad-\frac12\cos\theta+\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta,\quad-\frac12\cos\theta-\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta.$$ よって平方の和は $$\displaystyle \cos^2\theta+\left(-\frac12\cos\theta+\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta\right)^2+\left(-\frac12\cos\theta-\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta\right)^2=\frac32.$$

(5) $u=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OQ}$、$v=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OQ}$、$w=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OQ}$ とおく。(2)から $u+v+w=0$、(4)から $\displaystyle u^2+v^2+w^2=\frac32$。また、両点が単位円周上なので $$AQ^2=2-2u,\qquad BQ^2=2-2v,\qquad CQ^2=2-2w.$$ したがって $$AQ^4+BQ^4+CQ^4=4\bigl((1-u)^2+(1-v)^2+(1-w)^2\bigr)=4\left(3-2(u+v+w)+u^2+v^2+w^2\right)=18.$$

三頂点の中心角は$120^\circ$なので隣接位置ベクトルの内積は$\displaystyle -\frac12$。正三角形の重心が円の中心と一致するため三ベクトルの和は$0$で、Cのベクトル表現が得られる。任意のPについて距離平方和を展開すると$3\lvert\overrightarrow{OP}\rvert^2+3$となり、最小値3は$P=O$で達成。円周上のQを単位座標で表せば、三内積の二乗和は$\displaystyle \frac32$。最後は距離二乗が$2-2(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OQ})$等であることと、三内積の和$0$・二乗和$\displaystyle \frac32$から距離4乗和$18$が従う。