2北海道大学 2010年 数学 第2問解答・解説

(1) 与式より $A^2-A=-E$、すなわち $A-A^2=E$ である。したがって $A(E-A)=A-A^2=E$ および $(E-A)A=A-A^2=E$ となる。よって $E-A$ は $A$ の両側逆行列であり、$A^{-1}=E-A$。 (2) 成分を比較すると、$$a^2+bc-a+1=0,\quad b(a+d-1)=0,\quad c(a+d-1)=0,\quad bc+d^2-d+1=0.$$ $a+d-1\ne0$ とすると $b=c=0$ となり、最初の式から $a^2-a+1=0$ を得る。しかし判別式は $-3<0$ であり、$a$ が実数であることに反する。ゆえに $a+d=1$。さらに最初の式より $bc=-a^2+a-1$ だから、$$ad-bc=a(1-a)-(-a^2+a-1)=1.$$ よって $a+d=1,\ ad-bc=1$。 (3) (1) から $A^{-1}=E-A$ なので、条件は $E-A=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ と同値である。成分比較から $\displaystyle a=d=\frac12$、$c=-b$。また (2) の $ad-bc=1$ を用いると $\displaystyle \frac14+b^2=1$、したがって $\displaystyle b^2=\frac34$。$b>0$ より $\displaystyle b=\frac{\sqrt3}{2}$、$\displaystyle c=-\frac{\sqrt3}{2}$。ゆえに $\displaystyle A=\begin{pmatrix}\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\\-\frac{\sqrt3}{2}&\frac12\end{pmatrix}$。 この候補を与式に代入すると、$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}-\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\\-\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\end{pmatrix}$ となり、$A^2-A+E=O$ を満たす。また $\displaystyle E-A=\begin{pmatrix}\frac12&-\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3}{2}&\frac12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ なので、逆行列の条件も満たす。