広島大学 2005年数学第1問解答・解説

数学的な表現の工夫

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1問題

広島大学2005年度第1問

行列 $I$ と $J$ が $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ であるとき, 次の問いに答えよ。

(1) 行列 $J^{2},\ J^{3},\ J^{4}$ は, それぞれ, $I$ または $J$ の定数倍になることを示せ。

(2) 実数 $a$ と $b$ について, 行列 $aI+bJ$ が逆行列をもつための必要十分条件を求めよ。

(3) 任意の実数 $s,t$ に対して, 行列 $sI+(1+st)J+tJ^{2}+st^{2}J^{3}+t^{2}J^{4}$ は逆行列をもつことを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$J^2=-I,\quad J^3=-J,\quad J^4=I$
(2)
$a^2+b^2\ne0\quad(\Leftrightarrow(a,b)\ne(0,0))$
(3)
可逆。 $u=s-t+t^2,\quad v=1+st(1-t)$ とすると逆行列は $\displaystyle \frac{uI-vJ}{u^2+v^2}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 行列積から $J^2=-I$ 。従って $J^3=J^2J=-J,\qquad J^4=J^2J^2=I.$

(2) $aI+bJ=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix},\qquad (aI+bJ)(aI-bJ)=(a^2+b^2)I.$ $a^2+b^2\ne0$ なら逆行列 $(aI-bJ)/(a^2+b^2)$ をもつ。 $a^2+b^2=0$ は実数ではa=b=0を意味し、零行列は可逆でない。よって必要十分。

(3) (1)を使って整理すると $M=(s-t+t^2)I+\{1+st-st^2\}J=uI+vJ$ ただし $u=s-t+t^2,\ v=1+st(1-t)$ 。u=0なら $s=t(1-t)$ なので $v=1+s^2>0$ 。従ってu,vが同時に0になることはなく、 $u^2+v^2>0$ 。 (2)によりMは可逆で、逆行列は $(uI-vJ)/(u^2+v^2)$ 。

この問題で使う考え方

行列積
二項形aI+bJ
逆行列の直接構成

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