広島大学 2002年数学第6問解答・解説

1問題

広島大学2002年度第6問

$l$ を複素数平面上の直線 $z=t(1+i)$ （ $t$ は実数）、 $\alpha,\beta$ を複素数とする。ただし、点 $\alpha$ は $l$ 上にないとする。

(1) $\alpha=i\beta$ または $\alpha=\overline{\beta}$ ならば、 $l$ 上のすべての点 $z$ に対して $\displaystyle \left|\frac{\overline{z}-\beta}{z-\alpha}\right|=1$ であることを示せ。

(2) $l$ 上のすべての点 $z$ に対して $\displaystyle \left|\frac{\overline{z}-\beta}{z-\alpha}\right|=1$ ならば、 $\alpha=i\beta$ または $\alpha=\overline{\beta}$ であることを示せ。

(3) $l$ 上の異なる2定点 $z_{1},z_{2}$ があって、 $\displaystyle \dfrac{\overline{z_{1}}-\beta}{z_{1}-\alpha}$ と $\displaystyle \dfrac{\overline{z_{2}}-\beta}{z_{2}-\alpha}$ は同じ複素数になるとする。この複素数を $\gamma$ とおくとき、 $l$ 上のすべての点 $z$ に対し $\displaystyle \dfrac{\overline{z}-\beta}{z-\alpha}=\gamma$ となることを示せ。また、 $\gamma$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
各条件で $\displaystyle \left|\frac{\bar z-\beta}{z-\alpha}\right|=1$
(2)
$α=iβ$ または $α=̄β$
(3)
$γ=−i$ 、かつ $α=iβ$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

独立結果: $l$ 上で $z=t(1+i),\ \bar z=-iz$ 。 (1) $\alpha=i\beta$ なら分子 $=-i(z-\alpha)$ 、 $\alpha=\bar{\beta}$ なら分子は分母の共役。 (2) $\alpha=u+iv,\ \beta=p+iq$ とし、係数比較で $p-q=u+v,\ p^2+q^2=u^2+v^2$ 。よって $(p+q)^2=(u-v)^2$ となり、二符号から $\alpha=\bar{\beta}$ または $\alpha=i\beta$ 。 (3) $z_j=t_j(1+i)$ で二式を引くと $\displaystyle \gamma=\frac{1-i}{1+i}=-i$ 、戻し代入で $\alpha=i\beta$ 、よって全 $z$ で比は $-i$ 。

採用結果照合: (1)共役・ $-i$ 倍による二条件、(2)絶対値二乗後の係数比較、(3)二つの媒介変数式の差から得る $\gamma$ はいずれも採用結果と一致。

範囲・方法: 高校数学の範囲。単元: 数学II 複素数と式, 数学C 複素数平面。方法: 複素共役・絶対値, 直線の媒介変数表示, 絶対値二乗後の係数比較, 差を取る一次式の一致。テーマ: 直線上での複素数比の絶対値と一定性。

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2答え

3解答

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