3福井大学 2020年 数学 第3問解答・解説

(1) $\tan^2x=1/\cos^2x-1$ なので $$\displaystyle \boxed{\int\tan^2x\,dx=\tan x-x+C}.$$ (2) $s=\sin x$ とおくと $0\le s<1$ で、$s$ は $x$ とともに増える。 $$\displaystyle f'(x)=\frac{3-8s+8s^3}{\cos^2x}=\frac{(2s-1)(4s^2+2s-3)}{\cos^2x}.$$ 区間内の零点は $s=1/2,\ (-1+\sqrt{13})/4$ で、後者は $1/2$ より大きく1未満。導関数の符号は順に正・負・正となる。よって極大となるのは $a=\pi/6$、$\boxed{\sin a=1/2}$。 (3) $f(x)>0$ だから回転体の体積は $$\displaystyle V=\pi\int_0^{\pi/6}(3\tan x+8\cos x)^2dx.$$ 被積分関数は $9\tan^2x+48\sin x+64\cos^2x$。よって $$\displaystyle \begin{aligned}V&=\pi[9\tan x+23x-48\cos x+16\sin2x]_0^{\pi/6}\\&=\boxed{\pi\left(48-13\sqrt3+\frac{23\pi}{6}\right)}.\end{aligned}$$ 原始関数を微分すると $9\sec^2x+23+48\sin x+32\cos2x=9\tan^2x+48\sin x+64\cos^2x$ となり、展開と一致する。