10千葉大学 2007年 数学 第10問解答・解説

$x=\cos\theta$ とおくと $0\leq x\leq1$。半角公式と $y\geq0$ から $$\displaystyle y^2=x^4\tan^2\frac{\theta}{2} =\frac{x^4(1-x)}{1+x}=:F(x).$$ したがって $y$ の最大化は $F$ の最大化に等しい。端点では $F(0)=F(1)=0$、また $$\displaystyle F'(x)=\frac{2x^3(2-x-2x^2)}{(1+x)^2}.$$ $2-x-2x^2$ は $0\leq x\leq1$ で狭義に減少し、唯一の零点は $$\displaystyle 2x^2+x-2=0,\qquad x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}.$$ よって $F$ はこの点まで増加し、その後減少する。したがって最大値を与える $\alpha$ について $$\displaystyle \boxed{\cos\alpha=\frac{\sqrt{17}-1}{4}}.$$

(2) $\theta$ が $0$ から $\pi/2$ へ動くと $x=\cos\theta$ は1から0へ減少する。曲線はその間 $y\geq0$ なので、囲まれた面積は $$\displaystyle S=\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,\tan\frac{\theta}{2}\,\sin\theta\,d\theta.$$ 恒等式 $\sin\theta\tan(\theta/2)=1-\cos\theta$ より $$\displaystyle S=\int_0^{\pi/2}(\cos^2\theta-\cos^3\theta)\,d\theta =\frac{\pi}{4}-\frac23.$$ したがって $\displaystyle \boxed{S=\frac{\pi}{4}-\frac23}$。