4神戸大学 2012年 数学 第4問解答・解説

PDF p1理科系全問解答、p5問4のe<3の使用許可と積分範囲を確認。医学科対応は固定書誌による。

(1) $3^3=27<32=2^5$ より $3^{3/5}<2$ である。また $0<e<3$ と $t^{3/5}$ の単調増加性から $e^{3/5}<3^{3/5}<2$。$\log$ は単調増加なので、$\displaystyle \frac35=\log(e^{3/5})<\log2$。

(2) 定義域は $1+\cos x\ne0$、すなわち $x\ne(2k+1)\pi\ (k\text{ は整数})$ である。この範囲で $$\displaystyle f'(x)=\frac{\cos x(1+\cos x)+\sin^2x}{(1+\cos x)^2}-1=\frac{1+\cos x}{(1+\cos x)^2}-1=-\frac{\cos x}{1+\cos x}.$$

(3) 半角の公式より、 $$\displaystyle \frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}-1+\frac1{1+\cos x}=\tan\frac{x}{2}-1+\frac12\sec^2\frac{x}{2}.$$ したがって原始関数の一つは $\displaystyle -2\log\left(\cos\frac{x}{2}\right)-x+\tan\frac{x}{2}$ であり、 $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x}\,dx=\left[-2\log\left(\cos\frac{x}{2}\right)-x+\tan\frac{x}{2}\right]_0^{\pi/2}=1+\log2-\frac{\pi}{2}.$$

(4) $\displaystyle g(x)=\frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x}$ とおく。$\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{4}$ では分母が正であり、 $$\displaystyle g(x)+g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{(\sin x-\cos x)^2}{(1+\sin x)(1+\cos x)}.$$ よって $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}g(x)\,dx=\int_0^{\pi/4}\left(g(x)+g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)dx>0,$$ 右辺の被積分関数は $\displaystyle 0\le x<\frac{\pi}{4}$ で正だから、(3) の値は正である。