2神戸大学 2012年 数学 第2問解答・解説

(1) $$P=\begin{pmatrix}4-x&-1\\2&1-x\end{pmatrix}$$ なので、 $$P^2= \begin{pmatrix} (4-x)^2-2&-(4-x)-(1-x)\\ 2(4-x)+2(1-x)&(1-x)^2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (4-x)^2-2&2x-5\\ 10-4x&(1-x)^2-2 \end{pmatrix}.$$ $P^2=P$ の $(1,2)$ 成分を比較すると $2x-5=-1$ であるから、$x=2$ である。このとき $$P=\begin{pmatrix}2&-1\\2&-1\end{pmatrix},\qquad P^2=\begin{pmatrix}2&-1\\2&-1\end{pmatrix}=P$$ となり、条件を満たす。

(2) $x=2$ より $A=P+2E$ である。また、$P^2=P$ と $E$ が単位行列であることから、$E^2=E$ および $PE=EP=P$ が成り立つ。自然数 $n$ に対し $$A^n=(3^n-2^n)P+2^nE$$ を数学的帰納法で示す。$n=1$ のとき右辺は $(3-2)P+2E=P+2E=A$ で成り立つ。$n$ で成り立つと仮定すると、 $$\begin{aligned} A^{n+1} &=(P+2E)\bigl((3^n-2^n)P+2^nE\bigr)\\ &=\bigl(3(3^n-2^n)+2^n\bigr)P+2^{n+1}E\\ &=(3^{n+1}-2^{n+1})P+2^{n+1}E. \end{aligned}$$ よってすべての自然数 $n$ について成り立つ。したがって $$a_n=3^n-2^n,\qquad b_n=2^n.$$