神戸大学 2012年数学第1問解答・解説

図形と方程式

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1問題

神戸大学2012年度第1問

座標平面上に2点 $A(1,0), B(-1,0)$ と直線 $\ell$ があり、 $A$ と $\ell$ の距離と $B$ と $\ell$ の距離の和が1であるという。以下の問に答えよ。（配点30点）

(1) $\ell$ は $y$ 軸と平行でないことを示せ。

(2) $\ell$ が線分 $AB$ と交わるとき、 $\ell$ の傾きを求めよ。

(3) $\ell$ が線分 $AB$ と交わらないとき、 $\ell$ と原点との距離を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\ell$ はy軸と平行でない。(2) 傾き $\displaystyle \pm\frac{1}{\sqrt3}$ 。(3) $\displaystyle d(O,\ell)=\frac12$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

垂直線では距離の和が2以上になるので除外でき、ℓ:y=mx+n とおける。距離の和の条件は |m+n|+|n−m|=√(m²+1) である。ℓが線分ABと交わるときは |n|≦|m| で、左辺は2|m|となるので m=±1/√3 を得る。交わらないときは、両端点の符号付き距離は同符号となる。Oは両端点の中点なので、d(O,ℓ)=1/2 である。

この問題で使う考え方

点と直線の距離
絶対値の場合分け
符号付き距離

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