神戸大学 2012年数学第5問解答・解説

微分法積分法平面上の曲線と複素数平面

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1問題

神戸大学2012年度第5問

座標平面上の曲線 $C$ を、媒介変数 $0\leq t\leq1$ を用いて $\begin{cases}x=1-t^2,\\y=t-t^3\end{cases}$ と定める。以下の問に答えよ。（配点30点）

(1) 曲線 $C$ の概形を描け。

(2) 曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分が、 $y$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle C:y=x\sqrt{1-x}\space{}(0\le x\le1),\quad (x,y)_{\max}=(2/3,2/(3\sqrt3)),\quad V=32\pi/105.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $x=1-t^2$ より $t=\sqrt{1-x}$ なので $y=t(1-t^2)=x\sqrt{1-x},\qquad 0\le x\le1.$ 端点は $(1,0),(0,0)$ 。 $\displaystyle y'=\dfrac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}$ より、 $x=2/3$ で最大となり、 $y=2/(3\sqrt3)$ 。この範囲で曲線は第一象限の弧である。

(2) $y$ 軸回転の円筒殻法を用いると $\displaystyle V=2\pi\int_0^1 xy\,dx =2\pi\int_0^1 x^2\sqrt{1-x}\,dx.$ $t=\sqrt{1-x}$ と置換すると $\displaystyle \int_0^1x^2\sqrt{1-x}\,dx =2\int_0^1t^2(1-t^2)^2dt =2\left(\frac13-\frac25+\frac17\right)=\frac{16}{105}.$ 従って $\displaystyle \boxed{V=\frac{32\pi}{105}}.$

この問題で使う考え方

曲線の媒介変数表示
導関数と増減
定積分による体積
置換積分法

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