2山形大学 2011年 数学 第2問解答・解説

(1) $x=t^2$、$y=t^3$ より、$t=a\ne0$ における接線の傾きは $$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{3a^2}{2a}=\frac{3a}{2}.$$ 点 $(a^2,a^3)$ を通るから $$\displaystyle y-a^3=\frac{3a}{2}(x-a^2),\qquad l_a:\ y=\frac{3a}{2}x-\frac{a^3}{2}.$$

(2) 指定された曲線長の公式を用いる。$0\le t\le1$ では $t\ge0$ なので $$\displaystyle L=\int_0^1\sqrt{(2t)^2+(3t^2)^2}\,dt=\int_0^1t\sqrt{4+9t^2}\,dt =\left[\frac{(4+9t^2)^{3/2}}{27}\right]_0^1=\frac{13\sqrt{13}-8}{27}.$$

(3) $a=1$ とすると $\displaystyle l_1:y=\frac32x-\frac12$。曲線との交点は $$\displaystyle t^3=\frac32t^2-\frac12\text{すなわち} (t-1)^2(2t+1)=0,$$ すなわち $\displaystyle t=-\frac12,1$ である。曲線の枝は $y=\pm x^{3/2}$。したがって、$\displaystyle 0\le x\le\frac14$ では領域の上下端が $x^{3/2}$ と $-x^{3/2}$、$\displaystyle \frac14\le x\le1$ では $x^{3/2}$ と直線 $\displaystyle \frac32x-\frac12$ である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{1/4}2x^{3/2}\,dx+\int_{1/4}^1\left(x^{3/2}-\frac32x+\frac12\right)dx\\ &=\frac1{40}+\left[\frac25x^{5/2}-\frac34x^2+\frac12x\right]_{1/4}^{1} =\frac1{40}+\frac{19}{320}=\frac{27}{320}. \end{aligned}$$

(4) $y$ 軸まわりの回転体を円筒殻で考える。殻の半径は $x$、高さは (3) の領域の縦幅だから $$\displaystyle \begin{aligned} V&=2\pi\left\{\int_0^{1/4}x(2x^{3/2})\,dx+\int_{1/4}^1x\left(x^{3/2}-\frac32x+\frac12\right)dx\right\}\\ &=2\pi\left\{\frac1{224}+\left[\frac27x^{7/2}-\frac12x^3+\frac14x^2\right]_{1/4}^{1}\right\} =2\pi\left(\frac1{224}+\frac{23}{896}\right)=\frac{27\pi}{448}. \end{aligned}$$