4山形大学 2011年 数学 第4問解答・解説

(1) 整数$u,v$を用いて$p=mu+r$、$q=mv+s$と書ける。すると $$pq-rs=(mu+r)(mv+s)-rs=m(muv+us+vr),$$ よって$pq-rs$は$m$の倍数である。

(2) $3\equiv-1\pmod4$より$3^n\equiv(-1)^n\pmod4$。したがって余りは、$n$が奇数なら$3$、偶数なら$1$。

(3) 二項定理で$(1+r)^{2n}$と$(1-r)^{2n}$を展開して差を取ると、偶数次の項が消え奇数次の項が2倍残る。よって $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\binom{2n}{2k-1}r^{2k-1}=\frac{(1+r)^{2n}-(1-r)^{2n}}{2}.$$

(4) 積$X_n$が4で割った余り3となるには、すべての出目が奇数で、出目3の回数が奇数でなければならない。出目3の確率は$1/6$、出目1または5の確率は$1/3$。出目3が$2k-1$回である確率を足すと $$\displaystyle P_n=\sum\limits _{k=1}^{n}\binom{2n}{2k-1}\left(\frac16\right)^{2k-1}\left(\frac13\right)^{2n-(2k-1)} =\left(\frac13\right)^{2n}\sum\limits _{k=1}^{n}\binom{2n}{2k-1}\left(\frac12\right)^{2k-1}.$$

(3)に$r=1/2$を代入して $$\displaystyle P_n=\frac12\left\{\left(\frac12\right)^{2n}-\left(\frac16\right)^{2n}\right\}.$$