3神戸大学 2012年 数学 第3問解答・解説

(1) 被積分関数は連続であるから、微積分の基本定理により $$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x^2}.$$

(2) 合成関数の微分を用いると $$\displaystyle g'(x)=f'\left(\frac1x\right)\left(-\frac1{x^2}\right) =\frac{1}{1+1/x^2}\left(-\frac1{x^2}\right) =-\frac{1}{1+x^2}.$$

(3) $H(x)=f(x)+f(1/x)\ (x>0)$ とおく。(1)、(2)から $$\displaystyle H'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0.$$ したがって $H$ は $x>0$ の範囲で一定である。$x=1$ とし、$t=\tan\theta$ と置換すると $$\displaystyle f(1)=\int_0^1\frac{dt}{1+t^2} =\int_0^{\pi/4}d\theta=\frac{\pi}{4}.$$ よって $$\displaystyle f(x)+f\left(\frac1x\right)=H(1)=2f(1)=\frac{\pi}{2}\qquad(x>0).$$

積分の基本定理と合成関数の微分法で$f'$、$g'$を求めると、$f(x)+f(1/x)$の導関数は$0$。$x=1$の値を置換積分で計算して$\pi/2$を得る。