4金沢大学 2013年 数学 第4問解答・解説

(1) 仮定を移項すると $(x-u)A+(y-v)E=O$ である。左辺の $(1,2)$ 成分は $\displaystyle \frac{x-u}{2}$ なので $x=u$。すると対角成分から $y-v=0$、よって $y=v$。

(2) $A=1A+0E$ だから $a_1=1,\quad b_1=0$。直接計算して $\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}\frac{25}{2}&\frac72\\\frac72&\frac{25}{2}\end{pmatrix}=7A-12E$. (1) の一意性より $a_2=7,\quad b_2=-12$。

(3) $A^2=7A-12E$ を用いる。$A^n=a_nA+b_nE$ とすると $A^{n+1}=a_nA^2+b_nA=(7a_n+b_n)A-12a_nE$ なので $a_{n+1}=7a_n+b_n,\quad b_{n+1}=-12a_n$。初期値 $(a_1,b_1)=(1,0)$ に対し $a_n=4^n-3^n,\qquad b_n=4\cdot3^n-3\cdot4^n$ はこの初期値を満たし、漸化式にも一致する（$a_{n+1}=4^{n+1}-3^{n+1},\quad b_{n+1}=12\cdot3^n-12\cdot4^n$）。よって求める係数である。

(4) 係数の一意性と (3) より $\displaystyle c_n=\sum\limits _{k=1}^n(4^k-3^k)=\frac{4(4^n-1)}3-\frac{3(3^n-1)}2$, $\displaystyle d_n=\sum\limits _{k=1}^n(4\cdot3^k-3\cdot4^k)=6(3^n-1)-4(4^n-1)$. したがって $\displaystyle \frac{c_n}{4^n}\longrightarrow\frac43$,　　 $\displaystyle \frac{d_n}{4^n}\longrightarrow-4$ （ここで $\displaystyle \left(\frac34\right)^n\to0,\quad4^{-n}\to0$）なので $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{c_n}{d_n}=-\frac13$.