2千葉大学 2007年 数学 第2問解答・解説

(1) $n$ は奇数なので、整数 $k$ を用いて $n=2k+1$ とおける。このとき $$n^2-1=(2k+1)^2-1=4k(k+1).$$ $k$ と $k+1$ は連続する整数だから、一方は偶数である。従って $k(k+1)=2m$ となる整数 $m$ があり、$n^2-1=8m$。よって $n^2-1$ は8の倍数である。 (2) $$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1).$$ $n-1,n,n+1$ は連続する3整数なので、そのうち1つは3の倍数である。従って右辺は3の倍数であり、$n^5-n$ は3の倍数である。