2帝京大学 2008年 数学 第2問解答・解説

(1) $a$ は3で割り切れないので，$a\equiv1$ または $2\pmod 3$ である。いずれの場合も $$a^2\equiv1\pmod3$$ となるから，余りは $1$ である。

(2) $a^3=b^2$ とする。素因数分解において，任意の素数 $p$ の $a,b$ における指数をそれぞれ $r,s$ とすれば $3r=2s$ である。したがって $r=2k,\ s=3k$ となる整数 $k\geq0$ があり，素因数ごとに指数を比べると，ある自然数 $n$ を用いて $$a=n^2,\qquad b=n^3$$ と表される。よって $ab=n^5$。条件 $20<n^5<50$ から $n=2$（$2^5=32$，一方 $1^5=1,\ 3^5=243$）である。したがって $a=4$。

(3) $f(n)=n+\sqrt{n^2+n+1}$ とおくと，$n$ と $n^2+n+1$ はともに $n$ とともに増加するので $f(n)$ は増加する。従って $A$ の2番目に小さい要素は $$f(2)=2+\sqrt7.$$

集合 $B$ で $b=1$ の要素を小さい順に並べると $1+\sqrt3,1+\sqrt5,1+\sqrt7,4,\ldots$ となる。最初の $1+\sqrt3$ は $A$ の $n=1$ の要素である。一方，$1+\sqrt5$ と $1+\sqrt7$ は $A$ に属さない。実際，$A$ の第1要素は $1+\sqrt3$ であり，第2要素は $2+\sqrt7>1+\sqrt7$ だからである。また $b\geq2$ なら $$b+\sqrt{2c+1}\geq2+\sqrt3>1+\sqrt7$$ である。従って $B\setminus A$ の最初の2要素は $1+\sqrt5,1+\sqrt7$ であり，2番目は $1+\sqrt7$ である。

最後に $b+\sqrt{2c+1}$ が整数なら，$b$ が整数なので $\sqrt{2c+1}$ も整数である。$c$ は自然数だから $2c+1$ は3以上の奇数であり，その平方根も3以上の奇数である。従って $B$ の整数値の最小は $1+3=4$，2番目は $2+3=5$。この値は $b=2,c=4$ で実現する。