帝京大学 2008年数学第1問解答・解説

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1問題

帝京大学2008年度第1問

次の□にあてはまる数を求め，解答のみを解答欄に記入しなさい。

$\displaystyle \frac{2}{3-\sqrt{5}}$ の整数部分を $a$ ，小数部分を $b$ とする。 $8b$ の整数部分を $c$ ，小数部分を $d$ とし， $5d$ の整数部分を $e$ とする。このとき， $a=\boxed{\text{ア}},\quad b=\boxed{\text{イ}},\quad c=\boxed{\text{ウ}},\quad d=\boxed{\text{エ}},\quad e=\boxed{\text{オ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

有理化後に平方根の厳密な大小を用い、各整数部分と小数部分を順に求めた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle a=2,\quad b=\frac{\sqrt5-1}{2},\quad c=4,\quad d=4\sqrt5-8,\quad e=4.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \frac{2}{3-\sqrt5} =\frac{2(3+\sqrt5)}{9-5} =\frac{3+\sqrt5}{2}.$ $2<\sqrt5<3$ より $2<(3+\sqrt5)/2<3$ なので，整数部分は $a=2$ ，小数部分は $\displaystyle b=\frac{3+\sqrt5}{2}-2=\frac{\sqrt5-1}{2}.$ 次に $8b=4\sqrt5-4.$ $2<\sqrt5<9/4$ だから $4<4\sqrt5-4<5$ 。よって $c=4$ ， $d=8b-4=4\sqrt5-8.$ 最後に $(20\sqrt5)^2=2000,\qquad 44^2=1936<2000<2025=45^2$ であり，すべて正なので $44<20\sqrt5<45$ 。したがって $4<5d=20\sqrt5-40<5$ となり， $e=4$ である。

この問題で使う考え方

実数と無理数

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