5帝京大学 2008年 数学 第5問解答・解説

まず，異なる3個の数字を百・十・一の位に並べる。百の位は5通り，十の位は残り4通り，一の位は残り3通りなので， $$5\cdot4\cdot3=60.$$ 従って $\text{ア}=60$。

百の位から一の位へ数字が大きくなる数は，1〜5から使う3個を選べば並べ方がただ1通りに決まる。よって $$\displaystyle \binom53=10,$$ 従って $\text{イ}=10$。

最初の回答135への条件では，$\{1,3,5\}$ から2個を選び，残り1個は $\{2,4\}$ から選ぶ。できる数字集合は $$\{1,2,3\},\{1,3,4\},\{1,2,5\},\{1,4,5\},\{2,3,5\},\{3,4,5\}$$ の6種類。それぞれについて，135と同じ位にある数字がちょうど1個となる並べ方を調べると，順に $$123,231;\quad 143,431;\quad 152,215;\quad 154,415;\quad 325,532;\quad 345,534$$ の各2個である。従って $\text{ウ}=6\cdot2=12$。

次に123への条件を加える。上の12個のうち，$\{1,2,3\}$ の数字をちょうど1個だけ使うものは $154,415,345,534$ である。154ではその1個の1が百の位にあり，123の1の位の位置と一致するため除かれる。残る415，345，534では，唯一使われる数字（順に1，3，3）の位置はいずれも123での位置と異なる。したがって条件をすべて満たす数は $$415,345,534$$ の3個であり，最小は345。ゆえに $\text{エ}=3,\ \text{オ}=345$。