千葉大学 2007年数学第9問解答・解説

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1問題

千葉大学2007年度第9問

e を自然対数の底とし, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}\log_{e}|x|+\frac{3}{4}$ とする。

(1) 曲線 $y = f(x)$ の 2 接線で, 互いに垂直であるものをすべて求めよ。

(2) 直線 $\ell$ は曲線 $y = f(x)$ の接線で, 原点を通りかつ傾きが正とする。 $\ell$ の方程式は y = x であることを示せ。

(3) 曲線 $y = f(x)$ と 2 直線 x = e, y = x で囲まれた図形の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

解答を見る答えはこの解答の中にあります

小問照合

・ (1) 垂直な接線は $y=x$ と $y=-x$ 。傾き積条件から接点 $1,-1$ に限られ、両旧答案と一致。

・ (2) 原点を通り傾きが正の接線は $\ell:y=x$ 。原点通過条件の一意解と傾き判定で一致。

・ (3) $x\in[1,e]$ で囲まれた領域、面積 $\displaystyle \frac{e^3-6e^2+9e+2}{12}$ 。両旧答案と一致。

単元: 数学II（対数）、数学III（微分・積分）。

方法: 接線傾き/切片、平方和による垂直条件、単調性、曲線差の定積分。

テーマ: 接線の直交と原点通過、曲線と接線・縦線の囲む面積。

留保: 旧図示flagは履歴保持。今回の文章には範囲と上下関係の説明あり、具体的表示不備なし。全文production-template PDFのみ未render。修正稿なし。actual: UNVERIFIED。

この問題で使う考え方

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