3神戸大学 2007年 数学 第3問解答・解説

$$f'(x)=e^x-1.$$ 指数関数$e^x$は実数全体で単調増加し、$e^0=1$である。したがって$x<0$なら$f'(x)<0$、$x>0$なら$f'(x)>0$。よって$f(x)$は$x<0$で減少し、$x>0$で増加するから、全実数で$x=0$のとき最小となる。 $$f(0)=1.$$ したがって$f(x)\geq1$であり、等号は$x=0$で成立する。

$f(x)\geq1>0$なので、指定された図形は$t-1\leq x\leq t$における曲線$y=f(x)$と$x$軸の間の部分である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} S(t)&=\int_{t-1}^{t}(e^x-x)\,dx\\ &=\left[e^x-\frac{x^2}{2}\right]_{t-1}^{t}\\ &=e^t-e^{t-1}-\frac{t^2-(t-1)^2}{2}\\ &=(1-e^{-1})e^t-t+\frac12. \end{aligned}$$ これはすべての実数$t$で成り立つ。

$\displaystyle c=1-e^{-1}=\frac{e-1}{e}>0$とおくと、 $$S'(t)=ce^t-1.$$ $S'(t)=0$となるのは$e^t=1/c=e/(e-1)$、すなわち $$\displaystyle t_0=\log\frac{e}{e-1}$$ のときである。$c>0$かつ$e^t$は単調増加なので$S'(t)$は単調増加する。従って$t<t_0$では$S'(t)<0$、$t>t_0$では$S'(t)>0$。ゆえに$S(t)$は$t_0$で唯一の最小値をとる。その値は $$\displaystyle \begin{aligned} S(t_0)&=ce^{t_0}-t_0+\frac12\\ &=1-\log\frac{e}{e-1}+\frac12\\ &=\frac12+\log(e-1). \end{aligned}$$