4神戸大学 2007年 数学 第4問解答・解説

(1) 条件より $0\le x=\sin t\le1$ であり、$\displaystyle 0\le t\le\frac{\pi}{2}$ だから $\cos t\ge0$ である。したがって、$$y=\sin2t=2\sin t\cos t=2x\sqrt{1-x^2}\qquad(0\le x\le1).$$

(2) この曲線は $0\le x\le1$ で $x$ 軸の上側にあるので、$$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^1 2x\sqrt{1-x^2}\,dx.\end{aligned}$$ $u=1-x^2$ とおくと $du=-2x\,dx$ であるから、$$\displaystyle S=\int_1^0-\sqrt{u}\,du=\int_0^1\sqrt{u}\,du=\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_0^1=\frac{2}{3}.$$

(3) $0\le y\le1$ とし、曲線上で $u=x^2$ とおくと、$$\displaystyle y^2=4x^2(1-x^2)=4u(1-u),\qquad u=\frac{1\pm\sqrt{1-y^2}}{2}.$$ よって高さ $y$ における図形 $D$ の横断面は、$y$ 軸からの距離が $\displaystyle \sqrt{\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{2}}$ から $\displaystyle \sqrt{\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{2}}$ までの部分である。これを $y$ 軸のまわりに回転すると円環（端点では円環が退化する）となり、その面積は$$\displaystyle \pi\left(\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{2}-\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{2}\right)=\pi\sqrt{1-y^2}.$$ したがって、回転体の体積は$$\displaystyle V=\pi\int_0^1\sqrt{1-y^2}\,dy=\pi\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi^2}{4}.$$ ここで $\displaystyle \int_0^1\sqrt{1-y^2}\,dy$ は第一象限の単位円の面積、すなわち $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ である。