2神戸大学 2007年 数学 第2問解答・解説

$P=(x,y)$ とし、$y$ 軸上のもう一つの底辺の頂点を $Q=(0,q)$ とする。$P$ は第1象限にあるので $x>0, y>0$。二等辺三角形の底辺は $OQ$ だから、二等しい辺は $OP$ と $PQ$ である。$OP=PQ$ より $$x^2+y^2=x^2+(y-q)^2.$$ これを整理すると $q=0$ または $q=2y$ となる。$q=0$ なら $O=Q$ で三角形が退化するため、$q=2y$ である。したがって $OQ=2y$ であり、周の長さが2という条件は $$2\sqrt{x^2+y^2}+2y=2, \quad\text{すなわち}\quad \sqrt{x^2+y^2}=1-y$$ となる。ここで左辺は正なので $1-y>0$。両辺を2乗すると $$x^2+y^2=(1-y)^2\quad\text{すなわち}\quad x^2+2y=1.$$ また $y=(1-x^2)/2>0$ と $x>0$ から $0<x<1$。逆に $0<x<1$、$y=(1-x^2)/2$ とすれば $0<y<1/2$、$\sqrt{x^2+y^2}=1-y$ であり、$Q=(0,2y)$ とおくと $OP=PQ$、周の長さは2となる。よって $$T:\quad x^2+2y=1\quad(0<x<1)$$ である。

(2) $T$ 上では $0<x<1$ かつ $y=(1-x^2)/2$ である。直線との交点条件は $$\displaystyle \frac{1-x^2}{2}=a(x-1)=-a(1-x).$$ $0<x<1$ だから $1-x>0$ であり、これで割ると $$\displaystyle \frac{1+x}{2}=-a, \quad\text{したがって}\quad x=-2a-1.$$ 交点が第1象限内にあるためには、かつそのときに限り、$0<-2a-1<1$ である。これを解いて $$\displaystyle \boxed{-1<a<-\frac12}.$$ 端点 $a=-1$ では交点は $(1,0)$、$\displaystyle a=-\frac12$ では $\displaystyle (0,\frac12)$ となり、どちらも第1象限に含まれないことから、範囲の両端は含まない。