8千葉大学 2007年 数学 第8問解答・解説

h(y)=|y(y-5)|=$$\begin{cases}y(5-y)&(0\le y\le5),\\y(y-5)&(y\ge5)\end{cases}$$. x$\ge$2 なので x-2$\ge$0. 原始関数と微分積分学の基本定理から f$\prime$(x)=h(x+2)-h(x-2).(i) 2$\le$ x$\le$3 では f$\prime$(x)=(x+2)(3-x)-(x-2)(7-x)=20-8x.したがって 2≦x≦3の範囲 での最小値は端点で比較すればよく、f(2)=$\displaystyle \int_0^4$y(5-y) dy=$\displaystyle \frac{56}{3}$,　 f(3)=$\displaystyle \int_1^5$y(5-y) dy=$\displaystyle \frac{56}{3}$. (ii) 3$\le$ x$\le$7 では f$\prime$(x)=(x+2)(x-3)-(x-2)(7-x)=2(x-1)(x-4).よって 3≦x≦7の範囲 では x=4 で最小となる。(iii) x$\ge$7 では f$\prime$(x)=(x+2)(x-3)-(x-2)(x-7)=8x-20>0.したがって x≧4の範囲 では増加する。ここで f(4)=$\displaystyle \int_2^5$y(5-y) dy+$\displaystyle \int_5^6$y(y-5) dy=$\displaystyle \frac{27}{2}$+$\displaystyle \frac{17}{6}$=$\displaystyle \frac{49}{3}$<$\displaystyle \frac{56}{3}$. よって全域 x$\ge$2 における最小値は $\displaystyle \boxed{\frac{49}{3}}$ で、 x=4 のときに達する。