2福井大学 2020年 数学 第2問解答・解説

各試行は独立であり、各回に5枚のうち1枚を等確率で引く。4回の順序付き結果は $5^4=625$ 通りで、すべて同様に確からしい。

(1) $m$ が奇数になるのは、4回とも奇数のカード $3,5$ を引く場合である。したがって $$\displaystyle P(m\text{ が奇数})=\frac{2^4}{5^4}=\frac{16}{625}.$$

(2) $6\mid m$ には、積に因数 $2$ と $3$ の両方が必要である。因数 $2$ を含まない列は $3,5$ だけからなり $2^4$ 通り、因数 $3$ を含まない列は $2,4,5$ だけからなり $3^4$ 通りである。両方を含まない列は $5$ を4回引く1通りだから、包除原理により $$\displaystyle P(6\mid m)=\frac{625-(2^4+3^4-1)}{625}=\frac{529}{625}.$$

(3) $30\mid m$ には因数 $2,3,5$ がすべて必要である。これらのうち少なくとも一つを欠く列を数える。因数 $2,3,5$ をそれぞれ欠く列数は $2^4,3^4,4^4$ である。二種類を同時に欠く列数は、因数 $2,3$ を欠く場合が1通り、因数 $2,5$ を欠く場合が1通り、因数 $3,5$ を欠く場合が $2^4$ 通りであり、三種類すべてを欠く列はない。したがって、条件を満たす列数は $$625-\{2^4+3^4+4^4-(1+1+2^4)\}=290.$$ よって $$\displaystyle P(30\mid m)=\frac{290}{625}=\frac{58}{125}.$$