自治医科大学 2020年数学第11問解答・解説

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1問題

自治医科大学2020年度第11問

各設問について，与えられた選択肢の中から最も適当なものを一つ選べ。

11. $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ の数字が書かれている10枚のカードから異なる3枚のカードを選ぶこととする。選んだカードの数字の積が奇数となる確率を $P$ ，選んだカードの数字の積が4の倍数となる確率を $Q$ とする。 $\displaystyle \frac{Q}{P}$ の値を求めよ。

選択肢： $\begin{array}{lllll} ア 0 & カ 1 & サ 2 & タ 3 & ナ 4 \\ ハ 5 & マ 6 & ヤ 7 & ラ 8 & ワ 9 \end{array}$

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

全事象の組合せ数を分母にし、積が奇数となる場合と4の倍数となる場合のカードの選び方を数える。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\boxed{8}\quad$ （選択肢ラ）

4解答

解答を見る途中式つきの解答

全体の選び方は $\displaystyle \binom{10}{3}=120$ 通りである。積が奇数となるには、奇数のカード5枚から3枚を選べばよいので、 $\displaystyle P=\frac{\binom53}{\binom{10}{3}}=\frac{10}{120}=\frac1{12}.$ 積が4の倍数となる選び方を数える。4または8を含む組は、全120通りから4も8も含まない $\displaystyle \binom83=56$ 通りを除いて $64$ 通りであり、いずれも積は4の倍数である。4と8を含まない場合、残るカードは奇数5枚と $2,6,10$ である。積が4の倍数となるには $2,6,10$ から少なくとも2枚を選ぶ必要があるから、その通り数は $\displaystyle \binom32\binom51+\binom33=15+1=16.$ よって $\displaystyle Q=\frac{64+16}{120}=\frac23,\qquad \frac QP=\frac{2/3}{1/12}=8.$

この問題で使う考え方

組合せ
確率の基本法則
約数・倍数

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