9自治医科大学 2020年 数学 第9問解答・解説

左辺の多項式を $F(x)$ とおくと、$x=1$ が常に解であり、 $$F(x)=(x-1)\left(x^{2}+2a^{2}x-3a^{2}+4a\right)$$ と因数分解できる。括弧内を $G(x)$ とする。$F(x)$ が実数の2重解をもつのは、$G(x)$ 自身が重解をもつ場合、または $G(1)=0$ となって $x=1$ が重解となる場合である。 まず $G(x)$ の判別式は $$\Delta=(2a^{2})^{2}-4(-3a^{2}+4a) =4a(a-1)(a^{2}+a+4).$$ ここで $\displaystyle a^{2}+a+4=(a+\frac12)^{2}+\frac{15}{4}>0$ だから、$\Delta=0$ となるのは $a=0,1$ である。実際、$a=0$ では $F(x)=(x-1)x^{2}$、$a=1$ では $F(x)=(x-1)(x+1)^{2}$ となり、いずれも実数の2重解をもつ。 次に、 $$G(1)=1-a^{2}+4a=0 \quad\text{すなわち}\quad a^{2}-4a-1=0$$ より $a=2\pm\sqrt5$ を得る。このとき $$G(x)=x^{2}+2a^{2}x-(1+2a^{2}) =(x-1)(x+1+2a^{2})$$ であり、$x+1+2a^{2}$ は $x=1$ で $2+2a^{2}>0$ だから、$x=1$ は実数の2重解である。 以上より $a$ の候補は $0,1,2+\sqrt5,2-\sqrt5$ であり、その和は $$0+1+(2+\sqrt5)+(2-\sqrt5)=5.$$