10自治医科大学 2020年 数学 第10問解答・解説

$\vec u=\vec a+\vec b$、$\vec v=\vec a-\vec b$ とおく。条件より $$\displaystyle \vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos60^\circ=\sqrt{10}\sqrt6\cdot\frac12=\sqrt{15}.$$ $\vec a=(\vec u+\vec v)/2$、$\vec b=(\vec u-\vec v)/2$ だから、 $$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\frac{|\vec u|^{2}-|\vec v|^{2}}{4}=1.$$ また、 $$\displaystyle |\vec a|^{2}=\frac{|\vec u|^{2}+2\vec u\cdot\vec v+|\vec v|^{2}}4=4+\frac{\sqrt{15}}2,\qquad |\vec b|^{2}=4-\frac{\sqrt{15}}2.$$ よって $$\displaystyle |\vec a||\vec b|=\sqrt{\left(4+\frac{\sqrt{15}}2\right)\left(4-\frac{\sqrt{15}}2\right)} =\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac72.$$ したがって $\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}=\frac27$ であり、 $$|7\cos\theta|=2.$$