4東邦大学 2020年 数学 第4問解答・解説

第4問

$\boldsymbol u=\overrightarrow{OA}$、$\boldsymbol v=\overrightarrow{OB}$、$\boldsymbol w=\overrightarrow{AB}=\boldsymbol v-\boldsymbol u$とおく。与式から $$|\boldsymbol u|^2=\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v-\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w =10-(-15)=25,$$ $$|\boldsymbol v|^2=\boldsymbol v\cdot\boldsymbol u+\boldsymbol v\cdot\boldsymbol w =10-2=8.$$ また $$|\boldsymbol w|^2=\boldsymbol w\cdot(\boldsymbol v-\boldsymbol u) =\boldsymbol v\cdot\boldsymbol w-\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w =-2-(-15)=13.$$ よって$OA=5,\ OB=2\sqrt2,\ AB=\sqrt{13}$であり、アイに入る数は$13$である。 三角形の面積を$K$とすると、内積と面積の関係より $$4K^2=|\boldsymbol u|^2|\boldsymbol v|^2-(\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v)^2 =25\cdot8-10^2=100,$$ したがって$K=5$。外接円半径を$R$とすると$K=OA\cdot OB\cdot AB/(4R)$なので $$\displaystyle R=\frac{5\cdot2\sqrt2\cdot\sqrt{13}}{4\cdot5} =\frac{\sqrt{26}}2.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{13},\qquad R=\frac{\sqrt{26}}2}.$$ 検算として、余弦定理でも$AB^2=OA^2+OB^2-2(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})=25+8-20=13$を得る。さらに$OA\cdot OB\cos\angle O=10$より$\cos\angle O=1/\sqrt2$、従って面積は$\displaystyle \frac12(5)(2\sqrt2)(1/\sqrt2)=5$となる。