2東邦大学 2020年 数学 第2問解答・解説

第2問

$BC=a$、$CA=b=7$、$AB=c=5$とおく。$F$は角の二等分線の交点なので内心であり、各辺への距離を$r$とする。角の二等分線定理より $$\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac57,\qquad BD=\frac{5a}{12}.$$ また、$A,F,D$は一直線上にある。三角形$ABF$と$BFD$の面積比を、共通の高さ（$B$から直線$AD$への高さ）で比べると $$\displaystyle \frac{AF}{FD}=\frac{[ABF]}{[BFD]}.$$ 内心から辺$AB,BC$への距離はいずれも$r$なので $$\displaystyle [ABF]=\frac12\cdot AB\cdot r=\frac{5r}{2},\qquad [BFD]=\frac12\cdot BD\cdot r.$$ 従って$AF/FD=5/BD=3$より$BD=5/3$。角の二等分線定理の式と合わせて$a=4$となる。ゆえに $$\displaystyle BD=\frac53.$$ 次に角$B$の二等分線定理から $$\displaystyle \frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac54,\qquad AE=\frac{5}{5+4}\,AC=\frac{35}{9}.$$ 三角形$ABF$と$AFE$は底辺をそれぞれ$BF,FE$と見たとき、頂点$A$から直線$BE$への高さが共通であるから $$\displaystyle \frac{BF}{FE}=\frac{[ABF]}{[AFE]}.$$ 内心から辺$AB,AC$までの距離は$r$なので $$\displaystyle [ABF]=\frac12\cdot AB\cdot r,\qquad [AFE]=\frac12\cdot AE\cdot r.$$ したがって $$\displaystyle \frac{BF}{EF}=\frac{AB}{AE} =\frac{5}{35/9}=\frac97.$$ 検算として、$BC=4$なら角$A$の二等分線定理から$BD=4\cdot5/(5+7)=5/3$、また面積比から$AF/FD=5/(5/3)=3$となり、条件と一致する。 $$\displaystyle \boxed{BD=\frac53,\qquad \frac{BF}{EF}=\frac97}$$