5東邦大学 2020年 数学 第5問解答・解説

第5問

接点を$(x,y)$とすると第1象限より$x>0,y>0$で、円上にあるから$0<x<1$かつ$y=\sqrt{1-x^2}$である。円の上半分の傾きは$-x/y$、曲線$y=a(x+1/x)$の傾きは$a(1-1/x^2)$である。接するため傾きが等しいので $$\displaystyle a\left(1-\frac1{x^2}\right)=-\frac{x}{y}, \qquad a=\frac{x^3}{y(1-x^2)}=\frac{x^3}{y^3}.$$ また接点は曲線上にあるから $$\displaystyle y=a\left(x+\frac1x\right) =\frac{x^2(x^2+1)}{y^3}, \qquad y^4=x^2(x^2+1).$$ ここで$u=x^2$とおくと$y^2=1-u$より $$(1-u)^2=u(u+1),$$ したがって$u=1/3$。ゆえに $$\displaystyle x=\frac1{\sqrt3},\qquad y=\sqrt{\frac23},\qquad a=\left(\frac{x}{y}\right)^3=\frac1{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}.$$ この値では曲線と円の傾きはいずれも$-1/\sqrt2$となるため、求めた点で実際に接する。円$x^2+y^2=1$の接線は接点$(x_0,y_0)$に対して$x_0x+y_0y=1$だから、上記の接点を代入して整理すると $$\displaystyle \frac{x}{\sqrt3}+\sqrt{\frac23}\,y=1 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad \sqrt2\,x+2y=\sqrt6.$$ よって $$\displaystyle \boxed{a=\frac{\sqrt2}{4},\qquad \sqrt2\,x+2y=\sqrt6}.$$ 検算として、$(1/\sqrt3)^2+(\sqrt{2/3})^2=1$かつ$a(x+1/x)=\sqrt{2/3}$。また両曲線の傾きは$-1/\sqrt2$で一致する。