1東邦大学 2020年 数学 第1問解答・解説

第1問

2つの放物線の共有点では $$x^2+2x-2=-x^2+4x+10$$ だから $$2x^2-2x-12=0,\qquad (x-3)(x+2)=0.$$ よって共有点の$x$座標は$3,-2$であり、それぞれの$y$座標は $$x=3:\ y=3^2+2\cdot3-2=13,\qquad x=-2:\ y=(-2)^2+2(-2)-2=-2.$$ したがって共有点は$(3,13),(-2,-2)$である。この2点を通る直線の傾きは $$\displaystyle \frac{13-(-2)}{3-(-2)}=3$$ であり、切片は$13-3\cdot3=4$なので、直線は $$y=3x+4.$$ 原点を通る軸が$y$軸に平行な放物線を$y=px^2+qx$とおく。2共有点を通る条件から $$9p+3q=13,\qquad 4p-2q=-2.$$ 第2式は$q=2p+1$と同値であり、第1式に代入すると $$\displaystyle 15p+3=13,\qquad p=\frac23,\qquad q=2p+1=\frac73.$$ 従って求める放物線は $$\displaystyle y=\frac23x^2+\frac73x.$$ 検算すると、$x=3$では$6+7=13$、$x=-2$では$8/3-14/3=-2$、また$x=0$では$y=0$となり、3点すべてを通る。 $$\boxed{\text{ア}=3,\ \text{イ}=4,\ \text{ウ}=2,\ \text{エ}=3,\ \text{オ}=7,\ \text{カ}=3}$$