9東邦大学 2020年 数学 第9問解答・解説

第9問

まず $$\displaystyle \tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2} =\tan\frac{\pi}{8}+\tan\frac{3\pi}{8} =(\sqrt2-1)+(\sqrt2+1)=2\sqrt2.$$ 次に $$\displaystyle x^2-\sqrt2x+1=\frac{(\sqrt2x-1)^2+1}{2}.$$ $u=\sqrt2x-1$と置換すると、$x=0,1$でそれぞれ$u=-1,\sqrt2-1$だから $$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2-\sqrt2x+1} =\sqrt2\int_{-1}^{\sqrt2-1}\frac{du}{1+u^2} =\sqrt2\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}\right) =\frac{3\sqrt2}{8}\pi.$$ 最後に $$x^4+1=(x^2-\sqrt2x+1)(x^2+\sqrt2x+1)$$ より $$\displaystyle \frac{x^2+1}{x^4+1} =\frac12\left(\frac1{x^2-\sqrt2x+1}+\frac1{x^2+\sqrt2x+1}\right).$$ 前者の積分は上で求めた$\displaystyle I_-=\frac{3\sqrt2}{8}\pi$。後者は $$\displaystyle x^2+\sqrt2x+1=\frac{(\sqrt2x+1)^2+1}{2}$$ により $$\displaystyle I_+=\sqrt2\left[\arctan(\sqrt2x+1)\right]_0^1 =\sqrt2\left(\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt2}{8}\pi.$$ 従って $$\displaystyle \int_0^1\frac{x^2+1}{x^4+1}\,dx =\frac{I_-+I_+}{2} =\frac{\sqrt2}{4}\pi.$$ よって $$\boxed{\text{オ}=2,\ \text{カ}=2,\ \text{キ}=3,\ \text{ク}=2,\ \text{ケ}=8,\ \text{コ}=2,\ \text{サ}=4}.$$ 検算として、分解後の2つの分母を通分すると分子は$(x^2+\sqrt2x+1)+(x^2-\sqrt2x+1)=2(x^2+1)$となり、元の被積分関数と一致する。