1和歌山県立医科大学 2021年 数学 第1問解答・解説

(1) 3つの円の中心を $A,B,C$ とする。互いに接するので $AB=BC=CA=2$ であり、$\triangle ABC$ は一辺2の正三角形である。共通に内接する円の中心を $O$、半径を $R$ とすると、各小円がこの円に内接することから $OA=OB=OC=R-1$ である。したがって、$O$ は $\triangle ABC$ の外心である。

辺 $BC$ の中点を $M$ とすると、$AB=2$、$BM=1$ より、直角三角形 $ABM$ で $$AM=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$$ となる。正三角形の外心は中線を頂点から $2:1$ に内分するので、$\displaystyle OA=\frac{2}{3}AM=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ である。よって $\displaystyle R-1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ から、求める半径は $\displaystyle 1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$ である。

(2) 長方形を $0\le x\le3,\ 0\le y\le h$ とし、円の中心を $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ とする。円が長方形内にあるため $1\le x_i\le2,\ 1\le y_i\le h-1$ であり、$\lvert x_1-x_2\rvert\le1$ である。内部が共有点をもたない条件は中心間距離が2以上であることだから、 $$4\le (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\le1+(y_1-y_2)^2.$$ したがって $\lvert y_1-y_2\rvert\ge\sqrt{3}$ である。一方、両中心の高さの差は $h-2$ 以下なので、$h\ge2+\sqrt{3}$ となる。これは、中心を $(1,1),(2,1+\sqrt{3})$ に置けば実現する。このとき各円は長方形の辺に接し、中心間距離は $\sqrt{1+3}=2$ である。よって最小値は $2+\sqrt{3}$ である。

(3) 3つの中心を高さの小さい順に $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ と並べる。各 $x_i$ は $1\le x_i\le2$ にあるから、隣り合う高さの中心について $\lvert x_{i+1}-x_i\rvert\le1$ である。中心間距離が2以上であることから、(2)と同じ計算により、 $$4\le(x_{i+1}-x_i)^2+(y_{i+1}-y_i)^2\le1+(y_{i+1}-y_i)^2$$ となり、$y_{i+1}-y_i\ge\sqrt{3}\quad(i=1,2)$ を得る。よって $y_3-y_1\ge2\sqrt{3}$ である。中心の高さの範囲は $1\le y_i\le h-1$ なので $y_3-y_1\le h-2$ であり、$h\ge2+2\sqrt{3}$ となる。

実際、中心を $(1,1),(2,1+\sqrt{3}),(1,1+2\sqrt{3})$ に置くと、隣り合う円の中心間距離は2、両端の円の中心間距離は $2\sqrt{3}$ である。したがってどの2円の内部も交わらず、上端・下端の円は長方形の辺に接する。ゆえに $h=2+2\sqrt{3}$ で実現でき、これが最小値である。