4和歌山県立医科大学 2021年 数学 第4問解答・解説

関数を $$\displaystyle f(x)=3+\frac{(x-100)^2(x-250)}{900000}$$ と変形しておく。

(1) 代入すると $$\displaystyle f(0)=3+\frac{10000(-250)}{900000}=\frac29=0.222\ldots, \qquad f(250)=3,$$ $$\displaystyle f(290)=3+\frac{36100\cdot40}{900000} =\frac{1036}{225}=4.604\ldots.$$ したがって指定された丸めでは $f(0)=0.2,\ f(250)=3,\ f(290)=4.6$ である。

(2) 導関数は $$\displaystyle f'(x)=\frac{(x-100)(x-200)}{300000}.$$ よって $0\le x<100$ と $200<x\le290$ で $f'(x)>0$、$100<x<200$ で $f'(x)<0$ である。また $$\displaystyle f(100)=3,\qquad f(200)=3+\frac{10000(-50)}{900000}=\frac{22}{9}.$$ 増減表は $$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccc} x&0&&100&&200&&290\\ \hline f'(x)&&+&0&-&0&+&\\ \hline f(x)&\frac29&\nearrow&3&\searrow&\frac{22}{9}&\nearrow&\frac{1036}{225} \end{array}$$ となる。したがってグラフは $\displaystyle (0,\frac29)$ から $(100,3)$ まで上昇し、そこから $\displaystyle (200,\frac{22}{9})$ まで下降した後、$\displaystyle (290,\frac{1036}{225})$ まで上昇する概形である。途中で $(250,3)$ を通り、$x=200$ における極小値は $22/9>0$ であり、端点の値も正なので、この区間では $x$ 軸と交わらない。この増減表と示した点を座標平面に滑らかに結べばグラフが得られる。

(3) 因数分解した式に代入して $$\displaystyle f(12)=3+\frac{(-88)^2(-238)}{900000} =\frac{26779}{28125}=0.952142\ldots,$$ $$\displaystyle f(13)=3+\frac{(-87)^2(-237)}{900000} =\frac{100683}{100000}=1.00683.$$ したがって指定された丸めではどちらも $1.0$ である。$0\le x\le100$ で増加するから、整数 $k=1,\ldots,12$ に対して $f(k)\le f(12)<1$ であり、これらの $x$ では正の整数 $y\le f(k)$ はない。一方、$1<f(13)<2$ なので $x=13$ では $y=1$ のみが該当する。よって $N(13)=1$。

(4) $$\displaystyle f(278)=3+\frac{178^2\cdot28}{900000} =\frac{224197}{56250}=3.985724\ldots$$ であるから、指定された丸めでは $f(278)=4.0$ である。

(5) $k$ が整数のとき、$x=k$ に対する点は $1\le y\le f(k)$ を満たす正の整数 $y$ であり、その個数は $f(k)>0$ の範囲で $\lfloor f(k)\rfloor$ 個である。したがって $n\ge251$ では $$\displaystyle N(n)-N(250)=\sum\limits _{k=251}^{n}\lfloor f(k)\rfloor.$$ $x>200$ では $f$ は増加する。さらに $$3<f(251)\le f(k)\le f(278)=3.985724\ldots<4 \quad(251\le k\le278)$$ だから、この区間では各 $k$ の寄与は $3$ 個であり、合計は $28\cdot3=84$ 個である。また $$4<f(279)=4.032432\ldots\le f(k)\le f(282)=4.177742\ldots<5 \quad(279\le k\le282)$$ なので、この区間では各 $k$ の寄与は $4$ 個である。従って $n=281$ では差は $84+3\cdot4=96$、$n=282$ では $84+4\cdot4=100$ となる。$n\le250$ では差は $0$ 以下であり、$251\le n\le281$ での差も $100$ 未満だから、条件を満たす最小の自然数は $282$ である。