3和歌山県立医科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

曲線 $C:y=x^3$ 上の点 $(t,t^3)$ における接線の傾きは、導関数 $y'=3x^2$ に $x=t$ を代入して $3t^2$ である。よって接線は $$y-t^3=3t^2(x-t),\qquad y=3t^2x-2t^3.$$ これが (1) の答えである。　 (2) 点 $P=(a,b)$ がこの接線上にある条件は $$b=3at^2-2t^3=:g_a(t)$$ である。異なる $t$ が異なる接線を与える。実際、同じ直線なら傾きと切片が等しいので $t^2=s^2,\ t^3=s^3$ となり、$t=s$ である。したがって、求める接線の本数は方程式 $g_a(t)=b$ の異なる実数解の個数に等しい。　 $a>0$ のとき、$g_a'(t)=6t(a-t)$ より、$g_a$ は $t<0$ で減少し、$0<t<a$ で増加し、$t>a$ で減少する。極小値は $g_a(0)=0$、極大値は $g_a(a)=a^3$ であり、$t\to-\infty$ で $g_a(t)\to+\infty$、$t\to+\infty$ で $g_a(t)\to-\infty$ だから、水平線 $y=b$ とグラフが異なる3点で交わるのは $0<b<a^3$ のときに限る。$a<0$ のときは、$g_a$ は $t<a$ で減少し、$a<t<0$ で増加し、$t>0$ で減少する。極小値 $g_a(a)=a^3$、極大値 $g_a(0)=0$ をとるため、異なる3解をもつのは $a^3<b<0$ のときに限る。$a=0$ なら $g_0(t)=-2t^3$ は単調減少で、解は常に1つである。端点 $b=0$ または $b=a^3$ では水平線が極値点で接し、$a\ne0$ なら異なる実数解は2つである（$a=0$ では上記のとおり1つ）。したがって、これらも3つの接線を与えない。　 よって、求める範囲は $$\begin{cases} 0<y<x^3 &(x>0),\\ x^3<y<0 &(x<0) \end{cases}$$ である。すなわち、曲線 $y=0$ と $y=x^3$ に挟まれた領域のうち、2曲線上の境界を除いた部分を図示すればよい。

斜線に代えて薄く塗った部分が求める範囲である。破線の境界 $y=0,\ y=x^3$ と原点は含まない。領域は図の外へ続く。

(3) 点 $(-1,4)$ が $t$ における接線上にある条件は $$4=3t^2(-1)-2t^3,\qquad 2t^3+3t^2+4=0.$$ 左辺は $$2t^3+3t^2+4=(t+2)(2t^2-t+2)$$ と因数分解できる。二次式 $2t^2-t+2$ の判別式は $1-16=-15<0$ なので実数解をもたず、実数 $t$ は $t=-2$ ただ1つである。したがって、求める接線は $$l:y=3(-2)^2x-2(-2)^3=12x+16.$$ 曲線 $C$ と $l$ の交点の $x$ 座標は $$x^3=12x+16,\qquad x^3-12x-16=(x+2)^2(x-4)=0$$ より $x=-2,4$ である。差は $$(12x+16)-x^3=(x+2)^2(4-x)$$ であり、$-2<x<4$ で正だから、この区間で直線が曲線の上側にある。よって囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{-2}^{4}\bigl((12x+16)-x^3\bigr)\,dx\\ &=\left[-\frac{x^4}{4}+6x^2+16x\right]_{-2}^{4}=96-(-12)=108. \end{aligned}$$