2和歌山県立医科大学 2021年 数学 第2問解答・解説

(1) $100\equiv 10\equiv 1\pmod 3$ であるから、 $$r=100a+10b+c-1\equiv a+b+c-1\pmod 3.$$ 仮定より $3\mid r$ なので、$3\mid a+b+c-1$ である。

(2) $3\nmid n$ ならば $n\equiv 1$ または $2\pmod 3$ であり、いずれの場合も $n^2\equiv 1\pmod 3$ である。したがって $$p=2n^2+1\equiv 2\cdot 1+1\equiv 0\pmod 3,$$ よって $p$ は3で割り切れる。

(3) $3\mid n$ ならば $q=np$ より $3\mid q$ である。$3\nmid n$ ならば (2) より $3\mid p$ であり、やはり $q=np$ は3で割り切れる。したがって常に $3\mid q$ である。

(4) $n$ の5を法とする剰余は $0,1,2,3,4$ のいずれかなので、$n^2\equiv 0,1,4\pmod 5$ である。よって $p=2n^2+1$ の5を法とする剰余はそれぞれ $1,3,4$ のいずれかであり、0にはならない。したがって $5\nmid p$ である。

(5) 自然数で $a,b,c\leq 9$ だから $1\leq a,b,c\leq 9$ であり、$n=a+b+c-1$ より $2\leq n\leq 26$ である。(1)から $3\mid n$ である。また $15\mid q=np$ ならば $5\mid np$ であり、(4)で $5\nmid p$ を示したので、5の倍数の性質から $5\mid n$ となる。したがって $15\mid n$。範囲 $2\leq n\leq 26$ にある15の倍数は $n=15$ だけであるから、$a+b+c=16$ である。

さらに $15\mid r$ より $5\mid r$ であり、 $$r=100a+10b+c-1\equiv c-1\pmod 5$$ なので $c\equiv 1\pmod 5$。従って $c=1$ または $c=6$ である。

$c=1$ のとき $a+b=15$ で、$6\leq a\leq 9$、$b=15-a$ となる。このとき $$r=100a+10b=100a+10(15-a)=90a+150,$$ したがってこの場合の最小値は $(a,b,c)=(6,9,1)$ のときの $690$、最大値は $(9,6,1)$ のときの $960$ である。

$c=6$ のとき $a+b=10$ で、$1\leq a\leq 9$、$b=10-a$ となる。このとき $$r=100a+10b+5=100a+10(10-a)+5=90a+105,$$ したがってこの場合の最小値は $(a,b,c)=(1,9,6)$ のときの $195$、最大値は $(9,1,6)$ のときの $915$ である。両場合を比べると、全体の最大値は $960$、最小値は $195$ である。

最後に候補を確認する。最大の場合は $n=15,\ p=451,\ q=6765,\ r=960$、最小の場合は $n=15,\ p=451,\ q=6765,\ r=195$ であり、いずれも $q,r$ は15で割り切れる。