14自治医科大学 2020年 数学 第14問解答・解説

円 $x^{2}+y^{2}=1$ 上の $P(\alpha,\beta)$ では $\alpha^{2}+\beta^{2}=1$ であり、接線は $\alpha x+\beta y=1$ である。条件 $\alpha\ne1$ より $\beta\ne0$ だから、接線を $y=(1-\alpha x)/\beta$ と表せる。放物線 $y=x^{2}-2$ との差を $$\displaystyle D(x)=\frac{1-\alpha x}{\beta}-(x^{2}-2) =-x^{2}-\frac{\alpha}{\beta}x+\frac{1+2\beta}{\beta}$$ とする。$D(x)=0$ の2解の差の絶対値は、判別式から $$\displaystyle \frac{\sqrt{1+4\beta+7\beta^{2}}}{|\beta|}$$ である。$D(x)$ は最高次係数が $-1$ の二次式なので、2つの交点の間で囲まれる面積は根の間隔の3乗を6で割った値である。したがって面積は $$\displaystyle \frac{(1+4\beta+7\beta^{2})^{3/2}}{6|\beta|^{3}}.$$ ここで $u=|\beta|$ とおくと $0<u\le1$ である。 $\beta=u$ の面積は $\beta=-u$ の面積より大きいので、最小値は $\beta=-u$ の場合に生じる。このとき $$1-4u+7u^{2}=3u^{2}+(1-2u)^{2}\ge 3u^{2}$$ より $$\displaystyle \frac{(1-4u+7u^{2})^{3/2}}{6u^{3}}\ge \frac{(3u^{2})^{3/2}}{6u^{3}}=\frac{\sqrt3}{2}.$$ 等号は $u=1/2$ のときに成立し、このとき $\beta=-1/2$、$\alpha=\sqrt3/2$ は条件を満たす。したがって $m=\sqrt3/2$ であり、 $$4m^{2}=3.$$