3自治医科大学 2020年 数学 第3問解答・解説

$x\ge5$ なので、底 $x,x^{2},x^{3}$ はすべて1より大きい。また $y\ge3$ より対数の真数は正である。底の変換を用いると $$4\log_{x^{2}}2=2\log_x2,\qquad 3\log_{x^{3}}(y+6)=\log_x(y+6).$$ さらに $1=\log_x x$ であるから、もとの式は $$\log_x\bigl(x(y-2)\bigr)=\log_x\bigl(4(y+6)\bigr)$$ と同値である。底 $x>1$ の対数関数は1対1なので、 $$\displaystyle x(y-2)=4(y+6),\qquad y=2+\frac{32}{x-4}.$$ $x\ge5$ は整数だから $n=x-4$ は正の整数であり、$y$ が整数となるには $n$ が32の正の約数でなければならない。候補 $n=1,2,4,8,16,32$ に対し、$(x,y)$ と $|x-y|$ は順に $$(5,34):29,\ (6,18):12,\ (8,10):2,\ (12,6):6,\ (20,4):16,\ (36,3):33.$$ いずれも $y\ge3$ を満たし、最小値は $2$ である。