1大阪大学 2015年 数学 第1問解答・解説

自然数 $n$ に対して関数 $f_n(x)$ を $$\displaystyle f_n(x)=\frac{x}{n(1+x)}\log\left(1+\frac{x}{n}\right)\qquad (x\geq 0)$$ で定める。以下の問いに答えよ。 　 (1) $\displaystyle \int_0^n f_n(x)\,dx\leq\int_0^1\log(1+x)\,dx$ を示せ。 　 (2) 数列 $\{I_n\}$ を $$\displaystyle I_n=\int_0^n f_n(x)\,dx$$ で定める。$0\leq x\leq 1$ のとき $\log(1+x)\leq\log 2$ であることを用いて数列 $\{I_n\}$ が収束することを示し，その極限値を求めよ。ただし，$\displaystyle\lim\limits _{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=0$ であることは用いてよい。 　 （配点率 $20\%$）