7長崎大学 2024年 数学 第7問解答・解説

領域$F$は$0\leq x\leq 1$において$x^2\leq y\leq x$で表される。

(1) $x$軸に垂直な断面は、外半径$x$、内半径$x^2$の円環である。よって $$\displaystyle V_1=\pi\int_0^1\{x^2-(x^2)^2\}\,dx =\pi\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]_0^1 =\frac{2\pi}{15}.$$ (2) $l$の傾きは$1$なので、これに垂直な$m$の傾きは$-1$である。点$P(t,t^2)$を通るから $$m:\ y-t^2=-(x-t),\quad y=-x+t+t^2.$$ $Q$は$y=x$上にあるので、$2x=t+t^2$。したがって $$\displaystyle Q\left(\frac{t+t^2}{2},\frac{t+t^2}{2}\right).$$ (3) $\displaystyle Q-P=\left(\frac{t^2-t}{2},\frac{t-t^2}{2}\right)$より $$\displaystyle PQ^2=\left(\frac{t^2-t}{2}\right)^2+\left(\frac{t-t^2}{2}\right)^2 =\frac{t^2(1-t)^2}{2}.$$ (4) $Q$の座標は非負であるから、$\displaystyle s=OQ=\sqrt{2}\,\frac{t+t^2}{2}=\frac{t+t^2}{\sqrt2}$。よって $$\displaystyle \frac{ds}{dt}=\frac{1+2t}{\sqrt2}.$$ (5) $t$が$0$から$1$まで動くと$s$は$0$から$\sqrt2$まで単調に増加する（$ds/dt>0$）。$l$に垂直な断面で領域を切ると、断面は$Q$から$P$までの線分であり、これを$l$の周りに回転すると半径$PQ$の円板になる。したがって $$\displaystyle V_2=\pi\int_0^{\sqrt2}PQ^2\,ds =\pi\int_0^1\frac{t^2(1-t)^2}{2}\,\frac{1+2t}{\sqrt2}\,dt =\frac{\pi}{2\sqrt2}\int_0^1(t^2-3t^4+2t^5)\,dt =\frac{\pi}{30\sqrt2}.$$ 以上より $$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}=\frac{\pi/(30\sqrt2)}{2\pi/15}=\frac{\sqrt2}{8}.$$