8長崎大学 2024年 数学 第8問解答・解説

正方形の一辺は $1$ である。$t=\tan\theta$ とおくと、$0<\theta<\pi/4$ より $0<t<1$ である。　 (1) 三角形 $AP_nQ_n$ は $A$ を直角とするので、$\tan\theta=AQ_n/AP_n=AQ_n/a_n$ である。したがって $AQ_n=a_nt$。また、$BQ_n=1-AQ_n=1-a_nt$ であり、三角形 $BQ_nR_n$ で $\tan\theta=BR_n/BQ_n$ だから、$BR_n=(1-a_nt)t$。さらに $CR_n=1-BR_n$ であり、三角形 $CR_nS_n$ で $\tan\theta=CS_n/CR_n$ だから、$$CS_n=(1-BR_n)t=\{1-(1-a_nt)t\}t=(1-t+a_nt^2)t.$$　 (2) 三角形 $OS_nP_{n+1}$ は $O$ を直角とするので、$OP_{n+1}=OS_n t=(1-CS_n)t$ である。$OP_{n+1}=1-a_{n+1}$ より、$$a_{n+1}=1-(1-CS_n)t=1-t+tCS_n=1-t+t^2-t^3+a_nt^4.$$　 (3) $a_{n+1}=b+t^4a_n$ とおく。ただし $b=1-t+t^2-t^3=(1-t)(1+t^2)$ である。この漸化式の定数解を $a$ とすると、$a=b+t^4a$ だから、$$\displaystyle a=\frac{b}{1-t^4}=\frac{(1-t)(1+t^2)}{(1-t)(1+t)(1+t^2)}=\frac{1}{1+t}.$$ そこで $a_{n+1}-a=t^4(a_n-a)$ となるから、$$\displaystyle a_n=a+t^{4(n-1)}(a_1-a)=\frac{1}{1+t}+\left(a_1-\frac{1}{1+t}\right)t^{4(n-1)}.$$　 (4) (2)より $\displaystyle a_2-a_1=(1-t^4)\left(\frac{1}{1+t}-a_1\right)$ であり、$0<t<1$ だから、$P_1=P_2$ となるのは $a_1=1/(1+t)=1/(1+\tan\theta)$ のときである。$P_1\ne P_2$ のときも (3) と $0<t^4<1$ から $a_n\to 1/(1+t)$ である。したがって $OP_n=1-a_n\to t/(1+t)$、$P_nA=a_n\to 1/(1+t)$ となるので、$P_n$ は、$OA$ 上の点 $P$ で $OP:PA=t:1$、すなわち $OP:PA=\tan\theta:1$ を満たす点に限りなく近づく。