3京都府立医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

2ベクトル $u=(u_1,u_2)$、$v=(v_1,v_2)$ に対し $\Delta(u,v)=u_1v_2-u_2v_1$ とおく。この成分の積の差の符号は向きを表し、同じ始点からの2ベクトルを辺とする三角形の面積は、内積と面積公式から $|\Delta(u,v)|/2$ である。まず、方べきの定理より$BA_1\cdot BA_4=BA_2\cdot BA_5$である。正三角形$A_1A_2B$より$BA_1=BA_2=a$なので$BA_4=BA_5$。また$\angle A_4BA_5=60^\circ$であるから、三角形$A_4BA_5$も正三角形であり、$BA_4=BA_5=A_4A_5=b$となる。

$B$を原点とし、$BA_1,BA_2$の方向がそれぞれ正の$x$軸となす角を$30^\circ,-30^\circ$とする。このとき$$\displaystyle A_1=\left(\frac{\sqrt3a}{2},\frac a2\right),\quad A_2=\left(\frac{\sqrt3a}{2},-\frac a2\right),\quad A_4=\left(-\frac{\sqrt3b}{2},-\frac b2\right),\quad A_5=\left(-\frac{\sqrt3b}{2},\frac b2\right).$$円の中心$O$は$x$軸上にあるので$O=(h,0)$とおく。半径が$1$であることから$$OA_1^2=OA_4^2=1,\quad a^2-\sqrt3ah+h^2=b^2+\sqrt3bh+h^2.$$よって$a+b>0$を用いて$\displaystyle h=\frac{a-b}{\sqrt3}$を得る。これを$OA_1^2=1$に代入すると$$\displaystyle 1=a^2-a(a-b)+\frac{(a-b)^2}{3}=\frac{a^2+ab+b^2}{3},\quad a^2+ab+b^2=3.$$

(1) 弦$A_2A_4$の中点を$M$とすると$$\displaystyle M=\left(\frac{\sqrt3(a-b)}4,-\frac{a+b}4\right),\quad OM^2=\frac{(a-b)^2}{48}+\frac{(a+b)^2}{16}=\frac{a^2+ab+b^2}{12}=\frac14.$$また$A_3A_2=A_3A_4$より$A_3$は$A_2A_4$の垂直二等分線上にある。$C=2M-O$とおくと$OC=2OM=1$であり、$C$は弦$A_2A_4$の垂直二等分線上にある。頂点の順序から$A_3$は弦$A_2A_4$に関して$B$と反対側にある。実際、$\displaystyle \Delta(A_4-A_2,B-A_2)=-\frac{\sqrt3ab}{2}<0$に対し、関係式$a^2+ab+b^2=3$から$\displaystyle \Delta(A_4-A_2,C-A_2)=\frac{\sqrt3}{2}>0$である。よって$A_3=C$であり、$$\displaystyle A_3=\left(\frac{\sqrt3(a-b)}6,-\frac{a+b}{2}\right),\quad A_3B^2=\frac{(a-b)^2}{12}+\frac{(a+b)^2}{4}=\frac{a^2+ab+b^2}{3}=1.$$したがって$A_3B=1$。

(2) (1)で得た関係式を$b$について解くと$$\displaystyle b^2+ab+(a^2-3)=0,\quad b=\frac{-a\pm\sqrt{12-3a^2}}2.$$長さ$b$は正であるから正の方の値を採用し、$$\displaystyle b=\frac{\sqrt{12-3a^2}-a}{2}.$$また$a^2+ab+b^2=3$と$b>0$から$0<a<\sqrt3$である。

(3) $B$は凸五角形の内部にあるので、その面積は$B$を頂点とする5個の三角形の面積の和である。座標で$\Delta((u_1,u_2),(v_1,v_2))=u_1v_2-u_2v_1$とおけば、各面積はこの成分の積の差の絶対値の半分であり、$$\displaystyle \begin{aligned}[\triangle BA_1A_2]&=\frac{\sqrt3a^2}{4},&[\triangle BA_2A_3]&=\frac{\sqrt3a(a+2b)}{12},\\{}[\triangle BA_3A_4]&=\frac{\sqrt3b(2a+b)}{12},&[\triangle BA_4A_5]&=\frac{\sqrt3b^2}{4},\\{}[\triangle BA_5A_1]&=\frac{\sqrt3ab}{4}.\end{aligned}$$したがって$$\displaystyle S=\frac{\sqrt3}{12}(4a^2+7ab+4b^2)=\frac{\sqrt3}{12}\bigl(4(a^2+ab+b^2)+3ab\bigr)=\sqrt3\left(1+\frac{ab}{4}\right).$$さらに$$3=a^2+ab+b^2\ge3ab$$であり、等号は$a=b$のときに限る。等号時は$3a^2=3$、したがって$a=b=1$。ゆえに$ab\le1$であり、$S$の最大値は$$\displaystyle S_{\max}=\sqrt3\left(1+\frac14\right)=\frac{5\sqrt3}{4}$$である。