2京都府立医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1) 硬貨がn枚になるまで続けるには、1枚からn-1枚までの各段階で、投げた硬貨がすべて表でなければならない。k枚の段階で全部表となる確率は$2^{-k}$であり、各回の硬貨投げは独立だから、n枚の段階に達する確率は$$\displaystyle \prod\limits _{k=1}^{n-1}2^{-k}=2^{-\frac{n(n-1)}2}.$$その段階で終了するのは、n枚のうち少なくとも1枚が裏となる場合で、その確率は$1-2^{-n}$である。よって$$\displaystyle p_n=(1-2^{-n})2^{-\frac{n(n-1)}2}.$$

(2) $q_0=1$とし、$\displaystyle q_n=\prod\limits _{k=1}^{n}2^{-k}=2^{-\frac{n(n+1)}2}$とおく。$q_n$は$n$回目の投げまで全部表となり、$n+1$枚の段階へ進む確率である。(1)の結果より$$p_n=q_{n-1}(1-2^{-n})=q_{n-1}-q_n.$$したがって、任意の正整数Nについて$$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{N}p_n=q_0-q_N=1-2^{-\frac{N(N+1)}2}.$$Nが大きくなると右端の第2項は0に近づくので、$$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}p_n=1.$$

(3) (2)の$q_n$を用いると$p_1=q_0-q_1=1/2$、$p_3=q_2-q_3=1/8-1/64=7/64$である。したがって$$\displaystyle P>p_1+p_3=\frac12+\frac7{64}=\frac{39}{64}>\frac35=0.6.$$一方、すべての$p_n$は正であり、奇数番目のうち$n$が5以上の項の和は、すべての$n$が5以上の項の和より小さい。後者は望遠和だから$$\displaystyle \sum\limits _{j=3}^{\infty}p_{2j-1}<\sum\limits _{k=5}^{\infty}p_k=q_4=2^{-10}=\frac1{1024}.$$ゆえに$$\displaystyle P<\frac{39}{64}+\frac1{1024}=\frac{625}{1024}<\frac{31}{50}=0.62,$$最後の不等号は$625\cdot50=31250<31744=31\cdot1024$による。以上より$0.6<P<0.62$である。