4京都府立医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1)　 辺$AB$上の点を$A+\lambda(B-A)$とおくと、その$x$座標は$-2+4\lambda$である。$-2\le t\le2$に対して$\displaystyle \lambda=\frac{t+2}{4}$となるから、$$\displaystyle P=\left(t,-\frac{\sqrt3}{2}(t+2),0\right).$$

(2)　 辺$AC$,$AD$上では、それぞれ$A$からの比を$\lambda$とすると$x=-2+\lambda$である。$-2\le t\le-1$では$\lambda=t+2$だから、$$\displaystyle Q=A+(t+2)(C-A)=\left(t,\sqrt3(t+2),0\right),\quad R=A+(t+2)(D-A)=\left(t,\sqrt3(t+2),\frac{3\sqrt3}{2}(t+2)\right).$$

(3)　 辺$BC$,$BD$上で$B$からの比を$\mu$とすると$x=2-3\mu$である。$-1\le t\le2$では$\displaystyle \mu=\frac{2-t}{3}$だから、$$\displaystyle Q\prime=B+\frac{2-t}{3}(C-B)=\left(t,-\sqrt3t,0\right),\quad R\prime=B+\frac{2-t}{3}(D-B)=\left(t,-\sqrt3t,\frac{\sqrt3}{2}(2-t)\right).$$

(4)　 平面$x=t$での四面体の断面を$yz$平面上の三角形とみる。これを$x$軸のまわりに回すと、断面内で原点からの距離が最小の値から最大の値までの円環（最小値が0なら円板）ができる。

$-2\le t\le-1$では断面の頂点は$P,Q,R$である。線分$PQ$は$y$軸と交わるので内半径は0であり、$$\displaystyle |P|^2=\frac34(t+2)^2,\quad |Q|^2=3(t+2)^2,\quad |R|^2=\frac{39}{4}(t+2)^2.$$したがって外半径の2乗は$\displaystyle \frac{39}{4}(t+2)^2$である。

$-1\le t\le0$では頂点は$P,Q\prime,R\prime$であり、線分$PQ\prime$が原点を含むため内半径は0となる。また$$\displaystyle |R\prime|^2-|P|^2=3t(t-2)\ge0,\quad |R\prime|^2-|Q\prime|^2=\frac34(2-t)^2\ge0,$$より外半径の2乗は$\displaystyle |R\prime|^2=\frac{15}{4}t^2-3t+3$である。

$0\le t\le2$では断面全体で$y\le-\sqrt3t$であり、$Q\prime$は$z=0,y=-\sqrt3t$にあるので内半径の2乗は$|Q\prime|^2=3t^2$である。さらに$$\displaystyle |P|^2-|R\prime|^2=-3t(t-2)\ge0,\quad |P|^2-|Q\prime|^2=\frac34(2-t)(3t+2)\ge0,$$より外半径の2乗は$\displaystyle |P|^2=\frac34(t+2)^2$である。以上から回転体の断面積$A(t)$は$$\displaystyle A(t)=\begin{cases}\frac{39\pi}{4}(t+2)^2&(-2\le t\le-1),\\ \pi\left(\frac{15}{4}t^2-3t+3\right)&(-1\le t\le0),\\ \pi\left(\frac34(t+2)^2-3t^2\right)&(0\le t\le2).\end{cases}$$よって$$\displaystyle \begin{aligned}V&=\int_{-2}^{2}A(t)\,dt\\&=\pi\left(\frac{39}{4}\int_{-2}^{-1}(t+2)^2\,dt+\int_{-1}^{0}\left(\frac{15}{4}t^2-3t+3\right)\,dt+\int_0^2\left(\frac34(t+2)^2-3t^2\right)\,dt\right)\\&=\pi\left(\frac{13}{4}+\frac{23}{4}+6\right)=15\pi.\end{aligned}$$